关于反三角函数的结果的推导过程 2026-4-09 21:08 | 学习 558 字 | 3 分钟 键入三角函数的时候突然看到反三角函数的推导，觉得很有意思，因为之前记得时候只记了公式，而看到推导用了高数后面学的隐函数的运用，所以这里我也当作是记录一下： 对于反三角函数arcsinx\arcsin x的导数，我们可以通过反函数x=sin(y)x=\sin (y)进行隐函数求导得到： 令y=arcsinx⟹x=sin(y)y∈[−π2,π2]令\\\\y=\arcsin x \\\Longrightarrow x= \sin (y)\\\\y\in \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ] x′=(sin(y))′x’=(sin(y))’ 注意这里是对x求导，因此得用成复合函数求导来做 1=cosydydx1=\cos y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} dydx=y′=1cos(y)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =y’=\frac{1}{\cos (y)} 实际上，因为y∈[−π2,π2]，此时有cos(y)=1−sin2(y)实际上，因为y\in \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ] ，此时有\cos (y)=\sqrt{1-\sin^{2}(y) } ∴y′=cos(y)=11−sin2(y)=11−x2\therefore \\y’=\cos (y)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^{2}(y) }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 综上，可知(arcsinx)′=11−x2综上，可知(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 同样的，对于arccosx\arccos x的导数也有相同形式的推导过程 令y=arccosx⟹x=cos(y)y∈[−π2,π2]令\\\\y=\arccos x \\\Longrightarrow x= \cos (y)\\\\y\in \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ] x′=(cos(y))′x’=(cos(y))’ 1=−sinydydx1=\\-\sin y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} dydx=y′=−1sin(y)\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} =y’=-\frac{1}{\sin (y)} y∈[−π2,π2]，此时有sin(y)=1−cos2(y)y\in \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ] ，此时有\sin (y)=\sqrt{1-\cos^{2}(y) } ∴y′=cos(y)=−11−cos2(y)=−11−x2\therefore \\y’=\cos (y)=\\-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^{2}(y) }}\\=\\-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 综上(arccosx)′=−11−x2综上\\(\arccos x)’=\\-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} 唯一要注意的是负号 更更更一般的，(arctanx)′(\arctan x)’也运用同样的方法可以求得….